Рис. 2. Такая картина, полученная на компьютере, убедила Э. Лоренца, что он открыл новое явление - динамический хаос. Этот клубок траекторий, называемый сейчас аттрактором Лоренца, описывает непериодическое движение. Движение в этом случае не станет периодическим, сколько бы мы ни ждали.
Увиденное Лоренцем показано на рис. 2. С точки зрения математики можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в пространстве, называемом фазовым. Важнейшая характеристика этого пространства - его размерность, или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения не так уж и важно, что это за числа - количество рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, до сих пор поддерживающих президента. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Например такой, как показан на рис. 2. Здесь размерность фазового пространства всего 3. Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве. Для таких клубков другие классики нелинейной науки Д. Рюэль и Ф. Такенс в 1971 году придумали красивое название - странный аттрактор.
То, что чувствительность к начальным данным ведет к хаосу, понял - и тоже в 1963 году! - американский метеоролог Эдвард Лоренц. Он задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к воплощению в жизнь мечты метеорологов - достоверному среднесрочному (на 2-3 недели вперед) прогнозу погоды? Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, описывающую конвекцию воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы), просчитал ее на компьютере и не побоялся всерьез отнестись к полученному результату. Этот результат - динамический хаос- есть непериодическое движение в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым), имеющее конечный горизонт прогноза.
В том же 1963 году мысль о принципиальной ограниченности нашей способности предсказывать (или, как сейчас говорят, о существовании горизонта прогноза, или пределов предсказуемости) даже в мире, который идеально описывается классической механикой, была высказана лауреатом Нобелевской премии Ричардом Фейнманом. Для существования горизонта прогноза не нужно, чтобы "Бог играл в кости", добавляя в уравнения, описывающие нашу реальность, какие-то случайные члены. Не надо опускаться на уровень микромира, на котором квантовая механика дает вероятностное описание Вселенной. Объекты, поведение которых мы не можем предсказывать на достаточно большие времена, могут быть очень простыми. Таковы, например, незамысловатые системы маятников с магнитиками, которые сейчас продаются во многих лавках как произведения "динамического искусства" (dynamic art).
Рис. 1. Любая динамическая система определяет траекторию в фазовом пространстве, например, такую, как показана красным цветом. Динамический хаос обусловлен тем, что соседние траектории (показанные зеленым) удаляются от нее. Из-за этого малые причины могут иметь большие следствия.
Эта сказка имеет счастливое начало. В 1963 году Рэй Брэдбери опубликовал фантастический рассказ, в котором сформулировал идею динамического хаоса. В этом рассказе один из организаторов предвыборной кампании после победы своего кандидата отправляется в путешествие по времени. Фирма, организующая такую поездку, предлагает охоту на динозавров, которым в ближайшее время суждено умереть. Чтобы не нарушить сложную ткань причинно-следственных связей и не изменить будущее, следует двигаться по специальным тропам. Однако герой не смог выполнить этого условия и нечаянно раздавил золотистую бабочку. Возвратившись назад, он видит, что изменились состав атмосферы, правила правописания и итог предвыборной кампании. Едва заметное движение повалило маленькие костяшки домино, те повалили костяшки побольше, и, наконец, падение гигантских костяшек привело к катастрофе. Отклонения от исходной траектории, вызванные раздавленной бабочкой, стремительно нарастали (см. рис. 1). Малые причины имели большие следствия. Математики называют это свойство чувствительностью к начальным данным.
"Фейнмановские лекции по физике"
И этот промежуток (и в этом вся соль)
сделать предсказания.
что для него становится невозможным
можно всегда указать такой промежуток времени,
(сколь угодно большой, но конечной)
Правильнее будет сказать, что для данной точности
зав. сектором Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН.
Доктор физико-математических наук, профессор,
Георгий Малинецкий
Хаос. Тупики, парадоксы, надежды
Л. Левкович-Маслюк
"Компьютерра" 47, 1998. тема номера - Хаос
Г. МАЛИНЕЦКИЙ --- Хаос. Тупики, парадоксы, надежды
Комментариев нет:
Отправить комментарий